¿Qué es la Curva de Lorenz?
La curva de Lorenz es una representación gráfica utilizada frecuentemente para plasmar la distribución relativa de una variable en un dominio determinado. El dominio puede ser el conjunto de hogares o personas de una región o país, por ejemplo. La variable cuya distribución se estudia puede ser el ingreso de los hogares o las personas. Utilizando como ejemplo estas variables, la curva se trazaría considerando en el eje horizontal el porcentaje acumulado de personas u hogares del dominio en cuestión y en el eje vertical el porcentaje acumulado del ingreso.
Ecuacion de la Curva de Lorenz
Si se conoce la distribución de la renta como densidad de probabilidad
para cada valor de renta, la curva de Lorentz puede encontrarse analíticamente en función de esta. La proporción de personas o unidades familiares con una renta inferior a un nivel de renta r viene dada por:
Mientras que la proporción de renta acumulada por las personas con rentas iguales o inferiores a r viene dada por:
Donde
es la renta media. Las ecuaciones 1 y 2 constituyen juntas las ecuaciones paramétricas de la curva en función del parámetro r.Propiedades
La curva de Lorenz tiene pendiente positiva en todos sus puntos como se deduce de la siguiente relación:
En el punto inicial
la pendiente será nula (aun en el caso 
el límite anterior sigue siendo válido, pero en el resto de puntos será estrictamente positiva.Además la curva de Lorenz es cóncava ya que su derivada segunda siempre es positiva:
Ejemplo:
En esta sección calculamos la curva de Lorenz y el índice de Gini para una disttibución de renta exponencial. Aunque ésta no parece una distribución adecuada para la renta nacional de ningún país, la sencillez de las expresiones obtenidas permite entender de modo sencillo la aplicación de las ecuaciones 1 a 4. Para un país con una renta nacional media
con una distribución exponencial la densidad de probabilidad de la distribución será:
Esta expresión permite calcular la proporción de personas por debajo de una cierta renta y la renta acumulada de ese grupo de personas fácilmente:
Despejando
de la primera ecuación y substituyendo el resultado en la segunda se obtiene la curva de Lorenz explícitamente:
El índice de Gini se puede calcular simplemente como:
Este es el valor exacto. Cuando para calcular este valor en lugar de una distribución continua se usa un cálculo aproximado por decilas en cambio resulta sólo
.
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